#最后一次入门微积分 3

《微积分读本》第三章：极限导论

• 极限的直观概念
• 左、右与双侧极限，在 $- \infin$ 和 $\infin$ 处的极限
• 何时极限不存在
• 三明治定理（“夹逼定理”）

#3.1 极限

• 引入问题：当 x 非常接近 a，但是不等于a的时候， f(x)是什么样子的？

  • 当x趋近于2，f(x)的极限等于1。
    • $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x) = 1$
    • $f(x) \to 1 \ when \ x \to 2$

• 第二个问题：

  • $$g(x) = 
    \begin{cases}
    x - 1\ (x \ne 2) \\
    3 \ (x = 2)
    \end{cases}$$

  • 尽管g(2) = 3，还是有 $\displaystyle\lim_{x \to 2} g(x) = 1$

  • 此处的 $x$ 是虚拟变量，只是一个 标记，可以被随意字母、标识替换！等式左边 不是x的函数

  • 极限的结果中不可能包括这个虚拟变量

#3.2 左极限、右极限

[图片] 一个左右极限不相等的函数图像

• 左/右极限

$$\displaystyle\lim_{x\to3^-} h(x) = 1 \ \displaystyle\lim_{x\to3^+} h(x) = -2$$

• 双侧极限在某x=a处存在 $\iff$ 此处左右极限都存在，且 相等

$$\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x) = L\ \And \ \displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x) = L
\iff
\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$$

• 双侧极限不存在(DNE = Does not exist)

$$\displaystyle\lim_{x \to 3} h(x) \ DNE$$

#3.3 何时不存在极限

• 左右极限不相等的时候 不存在（双侧）极限

[图片] $g(x) = \frac{1}{x^2}$

• 垂直渐近线：$f$ 在 $x=a$ 处有一条垂直渐近线 $\iff$ $\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x)$ 和 $\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x)$ 其中 至少有一个 的极限是 $\infin$ 或 $-\infin$

[图片] $g(x) = sin(\frac{1}{x})$

• 此时 x=0 处的左右极限都不存在

#3.4 在正负无穷处的极限

• $f$ 在 $y = L$ 处有一条 右侧水平渐近线：$\displaystyle\lim_{x \to \infin } f(x) = L$

• $f$ 在 $y = R$ 处有一条 左侧水平渐近线：$\displaystyle\lim_{x \to - \infin } f(x) = R$

• $\displaystyle\lim_{x \to - \infin } sin(x) \ DNE$ 不存在极限

• 在无穷处的极限+奇偶性可以辅助作函数图像

• 一个数的绝对值很大，则这个数是大的

  • 这个“大的”在结合函数的极限考虑才有意义
  • 大的数 = 在 $\infin$ 附近的数

• 一个数的绝对值很小，则这个数是小的

  • 这个“小的”在结合函数的极限考虑才有意义
  • 小的数 = 在 $- \infin$ 附近的数

#3.5 关于渐近线的两个常见误解

1. 一个函数不一定要在左右两边有相同的渐近线

   • 例子 $tan^{-1}(x)$

2. 一个函数的确可以有不同的左侧、右侧渐近线，但最多只能有一左一右两条

   • 一个函数可以有无数个垂直渐近线

3. 函数可以和它的渐近线相交

   • $sin(x) / x$
   • $\displaystyle\lim_{x \to \infin} \frac{sin(x)}{x} = 0$
   • 为了证明上述极限，我们需要三明治定理/夹逼定理

#3.6 三明治定理/夹逼定理

如果一个函数 $f$ 被夹在函数 $g$ 和 $h$ 之间，当 $x \to a$ 时，这两个函数 $g$ 和 $h$ 都 收敛 于同一个极限 $L$ , 那么当 $x \to a$ 时，$f$ 也 收敛 于极限 $L$。（对于单侧极限也适用，只需要不等式在a相对应的那一侧成立就行）

如果对于所有在 $a$ 附近的 $x$ 都有 $g(x) \le f(x) \le h(x)$ ，且 $\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) = \displaystyle\lim_{x \to a} h(x) = L$ 则 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$。（对于单侧极限也适用，只需要不等式在a相对应的那一侧成立就行）

1. 典例1：证明 $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} xsin(\frac{1}{x}) = 0$
2. 典例2：证明 $\displaystyle\lim_{x \to \infin} \frac{sin(x)}{x} = 0$

#3.7 极限的基本类型小结

• 左极限、右极限、双侧极限、正无穷处的极限、负无穷处的极限

• 极限的结果（4种）：$L$，$\infin$，$-\infin$，$DNE$

• 注意：

  • 左右极限，不需要另一侧有定义，不需要$f(a)$ 有定义
  • 双侧极限，只需要左右极限存在而且相等，$f(a)$ 的值存在与否和具体大小都是无关紧要的
  • 无穷处的极限，可以抵达，而非不能抵达