#最后一次入门微积分 4

《微积分读本》第四章：求解多项式的极限问题

• $x \to a$ 时的有理函数
• $x \to a$ 时的涉及平方根的函数
• $x \to \infin$ 时的有理函数
• $x \to \infin$ 时的类多项式（“多项式型”）函数的比
• $x \to -\infin$ 时的有理函数/多项式型函数
• 涉及绝对值的函数

#4.1 $x \to a$ 时的有理函数的极限

1. 直接替换：总是先尝试用a的值替换x，若分母值不为0，极限值等于替换后得到的值（下一章连续性可以证明这种代入法没有问题）
2. 不定式（0/0）：极限结果的四种可能都存在。目标是 消除公因式
   • 在极限视角下，$f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 2} = \frac{(x-2)(x-1)}{x-2} = x - 1 = g(x)$ 可以成立，因为 此时在 x=2 的函数值是无关紧要的，只有在 x=2 附近的函数值才重要
   • 提取公因式法/立方差公式
3. 分母为0，分子不为0：有垂直渐近线
   • 四种结果

#4.2 $x \to a$ 时的涉及平方根的函数的极限

1. 共轭表达式
   • 平方差公式的应用

#4.3 $x \to \infin$ 时的有理函数的极限

1. 引理：

​ 欲求：

$$\displaystyle\lim_{x \to \infin} \frac{p(x)}{q(x)}$$

​ 有非常重要的多项式性质如下（可由一下两点证明）：

$$\begin{equation}\begin{split}
\displaystyle\lim_{x \to \infin} \frac{p(x)}{p_L(x)} & = 1 \\
\displaystyle\lim_{x \to \infin} p(x) & = \displaystyle\lim_{x \to \infin} p_L(x)
\end{split}\end{equation}$$

• “和的极限 = （不为 $\pm \infin$ 的 ）极限的和”
• 对于任意的 n > 0, $\displaystyle\lim_{x \to \infin} \frac{C}{x^n} = 0$

2. 方法

   无论分母分子，只要是关于p的多项式，就执行以下操作（此时x!=0，但由于关心的是x=无穷附近，所以没关系）

   $$\frac{p(x)}{the\ \ 1st\ \ Term\ \ of\ \ p(x)} = the\ \ 1st\ \ Term\ \ of\ \ p(x)$$

3. 规律（用于预判和验算）

对于：

$$\displaystyle\lim_{x \to \infin} \frac{p(x)}{q(x)}$$

其中分子、分母都是多项式：

1. 次数(p) = 次数(q)，极限非零且有限
2. 次数(p) > 次数(q)，极限 $\infin$ 或 $-\infin$
3. 次数(p) < 次数(q)，极限为0

#4.4 $x \to \infin$ 时的类多项式（“多项式型”）函数的极限（4.2+4.3）

1. 除数支配分子
   • 去根号后，走 4.3 的流程
2. 被除数剩余部分支配分子
   • 去根号后，走 4.3 的流程
3. 分子什么都不剩，==0
   • 一上来就先用 共轭表达式 处理，之后再走 4.3 的流程

#4.5 $x \to -\infin$ 时的有理函数/多项式型函数的极限（4.3+4.4的负极限版本）

• 与前两个小节的不同之处/ 需要注意的地方：

  1. 趋近于 $-\infin$ ，是负！负！负！负！负！

  2. 去根号要注意！：

     若 $x<0$，并且想写 $\sqrt[n]{x^{?}} = x^m$，那么需要在 $x^m$ 之前加一个负号的唯一情形时，n为偶，而m为奇数。

#4.6 涉及绝对值的函数的极限

• 分类讨论，去除绝对值
• 画图像辅助判断