#最后一次入门微积分 1

《微积分读本》第一章：函数、图像和直线

• 函数
  • 定义域、上域、值域、垂线检验
• 反函数和水平线检验
• 函数的复合
• 奇函数和偶函数
• 线性函数和多项式的图像
  • 有理函数、指数函数、对数函数的图像
• 绝对值的处理

#1.1 函数

• 函数：将一个对象转化为另一个对象的规则
  • 输入：转化的起始对象
    • 来自于名为 定义域 的集合
  • 输出：转化的输出对象
    • 来自于名为 上域 的集合
• 例子/注意事项：
  • f(x)不是函数，f是函数
  • $f(x)=x^2,\ g(x) = x^2 \ (x\ge0)$
    • g是由 限制 f的定义域产生的
  • 一个函数必须给每一个有效的输入指定唯一的输出
• 值域：函数所有可能的输出组成的集合
  • 是 上域 的一个子集
  • 上域：是 可能 由输出的结果组成，而值域由 实际 输出的结果组成

#1.1.1 区间表示法

• 闭区间： $[a,b]$
• 开区间：$(a,b)$
• 半开区间：$(a,b]$
• 无穷符号：$\infin$

#1.1.2 求定义域

1. 分数的分母不能为0
2. 不能取一个负数的平方根（4/6次等等根也不行）
3. 不能取负数or零的对数

• ”差集“符号：$(8,13] \backslash \{ 2 \}$

#1.1.3 利用图像求值域

• 利用水平方向、从y轴两侧摄入的光线留在y轴上的 影子 判断

#1.1.4 垂线检验

是否任何垂线和图像相交多于一次，若是，则该图像表示的不是一个函数

#1.2 反函数

1. 从一个函数f出发，使得对于在f值域中的任意y，都只有 唯一的 x 值满足 f(x) = y （不同的输入对应不同的输出）
2. f的反函数的定义域与f的值域相同
3. f的反函数的值域和f的定义域相同
4. $f^{-1}(y)$的值就是满足f(x)=y的x值

• $f^{-1}$ 是变换 $f$ 的撤销

#1.2.1 水平线检验

如果水平线和曲线相交多于一次，那将会有多个可能的对应x值，这样的曲线所对应的函数没有反函数，除非我们对其定义域进行 限制

#1.2.2 求反函数

• 求解常常不可能
• 两者图像关于 $y=x$ 对称

#1.2.3 限制定义域

• 限制原函数的定义域就是 限制反函数的值域
• 垂线检验和水平线检验的联系：若不经过限制，强制经过 $y=x$ 对称后的曲线 不会通过垂线检验

#1.2.4 反函数的反函数

• 一般情况下，等于原函数
• 限制定义域时，小心！
  • 因为限制定义域前后一般不会改变字母！

#1.3 函数的复合

$$f=h \circ g$$

• 函数的乘积不同于复合

  • 复合与函数顺序相关
  • 乘积顺序无关

• 平移，左加右减

#1.4 奇函数和偶函数

• 注意到，当 $n=2k$ ，$j(x)=x^n$ 具有性质 $j(x) = j(-x)$
  • 偶函数：$f(x) = f(-x)$ 对于定义域内所有 $x$ 都成立
  • 图像关于y轴镜面对称
• 注意到，当 $n=2k+1$ ，$j(x)=x^n$ 具有性质 $-j(x) = j(-x)$
  • 奇函数：$-f(x) = f(-x)$ 对于定义域内所有 $x$ 都成立
  • 如果一个函数 是奇函数， 0在定义域内，$f(0)=0$
  • 图像关于原点有180度的点对称性
• 大部分函数是 非奇非偶 的
• 只有一个函数（$f(x) = 0$）是 又奇又偶 的
• 判断：将 $x$ 替换为 $-x$，带入、化简后和 $f(x)$ $-f(x)$ 对比

$$h(-x) = f(-x)g(-x) = (-f(x))(-g(x)) = f(x)g(x) = h(x)$$

• 两个奇函数的积是偶函数

$$h(-x) = f(-x)g(-x) = f(x)g(x) = h(x)$$

• 两个偶函数的积还是偶函数

#1.5 线性函数的图像

• 线性函数：形如 $f(x) = mx + b$ 的函数
  • 因为他们的图像是直线
• 点斜式
• 斜率公式

#1.6 常见函数及其图像

• 多项式

  • $$p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$$

  • 基于x的非负次幂建立起来的函数

  • 可以说：零倍的 $x^2$

  • $x^n$ 的系数

  • 多项式的次数：最大的幂指数

  • 首项系数

  • 图像两端的走势 = 首项系数的正负 + 多项式次数的奇偶

  • 二次函数

    • 判别式
    • 配方法

• 有理函数

  • 形如 $p(x)/q(x)$
  • $1/x^n$ 奇数、偶数次的图像之间比较相似

• 指数函数和对数函数

  • 互为反函数，性质对称
  • 指数函数：永远大于零，渐近线x轴
    • 应用 softmax

• 三角函数

• 带有绝对值的函数

  • 绝对值：数轴上 $x$, $y$ 两点间 距离
  • 向分段函数转化
  • 曲线对称作图